“p-adic理论，你们可以称之为p进数理论，是咱们数论中一个较为重要的基础理论，同时，它和数学中的其他领域也能十分融洽，甚至也可以作为未来你们上研究生之后的一个研究方向。”
说到这，林晓微微一笑：“上一届国际数学家大会中，有位31岁的菲尔兹奖得主叫做彼得·舒尔茨，他就是研究p-adic理论的，他利用一种十分绝妙的方法，将一些十分复杂的几何问题引入到了p-adic理论当中实现了简化，然后解决了不少的问题。”
“比如他通过引入拟完备空间把算术代数几何转换到p进域上，可将局部域上的算术问题简化表示为特定的特征及特征域的组合。”
“利用这个技术，他便成功地将霍奇理论中的近纯定理实现了推广。”
“所以研究这个理论，说不定就有可能让你得到一个菲尔兹奖。”
听到林晓的话，在场的学生们纷纷翻了个白眼。
瞧您说的，就跟只要研究了这个东西就能拿奖似的。
真要有这么容易的话，他们还能坐在这里？
当然，林晓的这一番介绍，还是给了他们这些学生一些兴趣，一位菲尔兹奖大佬都研究的东西，他们研究一下，不是更好？
尤其是林晓还提到了霍奇理论，虽然他们不是都知道霍奇理论，但是作为学数学的，他们都知道霍奇猜想嘛。
嗯，能跟千禧年大奖难题挂上钩的东西，肯定是好东西。
于是这些学生们都露出了认真的表情。
而见到他们的表情，林晓微微一笑，引起了兴趣，这就方便他之后的讲课了，于是他不再多说，开始了关于p-adic理论的正式讲述。
“p进数是有理数域拓展成的完备数域的一种。这种拓展与常见的有理数域到实数域的数系拓展不同，其具体在于所定义的“距离”概念，我们一般用Qp来表示……”
课堂开始，在场的学生们也都开始了认真地思考。
尽管在场的学生们基本都在之前做过了预习，但是对于学习数学的学生来说，那种哪怕看书也看不懂的知识，也算是十分的常见。
而这个p-adic理论，当然也使得不少学生感到了比较难以理解。
毕竟相比起他们以前所学习的那些数论中的经典定理等，p-adic理论这种连名字都稍微有些奇怪的理论，他们想要理解这个玩意儿，也仍然有些困难。
当然，这时候就要轮到老师来起作用了。
随着林晓的详细讲述，这些数学中的尖子生们，也逐渐能够理解了起来。
于是就这样，这节课的前30分钟，林晓引领着这些学生们理解了什么是p-adic理论。
“现在，各位同学应该基本理解了什么是p进数。”
“p进数主要有两个性质。”
“第一个，是代数性质。”
“在代数上，Qp是Zp的分式域，跟准确地说，Qp=Zp[1/p]……”
“大家要记住，在咱们数论的领域中，p进数的代数性质是比较重要的，大家回去之后要好好学习一下这方面的知识，巩固一下，考试是会考的哦~”
说到这，林晓微微一笑。
而见到他的这个笑容，在场的学生们纷纷哆嗦了一下，连忙拿起笔，将这一点记了下来。
在场的学生谁不知道，只要说到考试可能要考的地方，林神一笑，他们可就生死难料了。
因为这意味着林晓往往会在这方面出上一道压轴题，虽然说难度不会有之前那道题那么难，但是得分率肯定也不会高。
而看着他们记笔记，林晓笑呵呵的安慰道：“大家别紧张嘛，毕竟我又不是什么魔鬼。”
然而在座的每一位同学信都不信，纷纷翻了个白眼，然后在这个地方又多加了一个重点标记，顺便写上“非常重要”四个字，免得之后复习时给忽略了。
而见到没人相信自己，林晓耸耸肩，继续讲起了课：“那么就是第二个性质，也就是拓扑性质，拓扑性质的话，倒不是重点，我之前也说过，学习我们如今的数学，专精一个方向其实是最好的，你们如果有兴趣往拓扑方面发展一下的话，可以研究研究，不过现在的话，我就简单讲讲就行。”
“p-adic的拓扑性质，主要表现为在Qp上的范数，|·|p是一个超度量的范数。它不仅满足三角不等式，而且满足更强的关系……”
“这说明，如果将Qp想象成一个几何空间，那么其中的三角形的一边长度总小于等于另外两边中较长者，也就是说所有的三角形都是锐角等腰三角形。这与实际中的欧式几何空间完全不同。由此Qp和R具有截然不同的拓扑性质……嗯？”
说到这里的时候，林晓的眉头忽然皱了一下，停止了自己的讲述。
而在场的学生们听到林晓“嗯？”了一声就不说话了，便都感到了疑惑。
这是怎么了？
不过，林晓迟疑了片刻之后，又继续讲述起来：“Qp上的拓扑是完全不连通的豪斯多夫空间，同时，Qp是由Q完备化而得，因此Q在Qp中稠密，不仅如此，任意给定……嗯？”
刚说到这里，林晓忽然又停了下来，抬头看着PPT上面他列出的一些陈述p进数拓扑性质的数学式，一只手扶住下巴，陷入了沉思的状态中。
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